SUBIECTE REZOLVATE EVALUARE NAŢIONALĂ
LA MATEMATICĂ

Anul şcolar 2016 – 2017

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Timpul de lucru efectiv este de 2 ore.

Subiectul I – pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele.      (30 de puncte)

1. Rezultatul calculului 20 – 20 : 2 este egal cu…

REZOLVARE:
20-20:2=10

2. Şase caiete de acelaşi fel costă 30 de lei. Trei dintre acestea costă…

REZOLVARE:
30⋅3:6=15

3. Dacă A={1,2,3,4} şi B ={4,6,8}, atunci mulţimea A ∩ B este egală cu…

 

REZOLVARE:
{1, 2, 3, 4} ∩ {4, 6, 8} = {4}

4. Aria unui pătrat cu latura de 6 cm este egală cu … cm².

REZOLVARE:
6² = 36

 

5. În Figura 1 este reprezentat un tetraedru regulat ABCD. Dacă suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului este egală cu 12cm, atunci lungimea muchiei AB este egală cu …cm.

REZOLVARE:
 Tetraedrul regulat are 6 muchii, toate egale, deci lungimea unei muchii este 12 : 6 = 2.
6. În tabelul de mai jos este prezentat numărul de elevi ai fiecăreia dintre clasele unei şcoli.

 

Clasa	a V-a A	a V-a B	a VI-a A	A VI-a B	a VII-a A	a VII-a B	a VIII-a A	a VII-a B
Număr de elevi	25	26	30	28	24	26	30	28

Conform tabelului, numărul total al elevilor din clasele a VIII-a ale acestei şcoli este egal cu… .

REZOLVARE:
30 + 28 = 58

Subiectul al II-lea – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.         (30 de puncte)

1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub ABCDEFGH.

REZOLVARE:

2. Arătaţi că\(\left( 1+0,5 \right)(1-0,5)+{{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}=\frac{5}{4}\)

REZOLVARE:
\(\left( 1+0,5 \right)(1-0,5)+{{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}=1-0,25+\frac{1}{2}=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}\)

3. Determinaţi două numere, ştiind că media lor aritmetică este egală cu 150, iar raportul celor două numere este egal cu 1/2

REZOLVARE:

Avem a + b : 2 = 150 și \(\frac{a}{b}=\frac{1}{2}\) , deci  a + b = 300 și 2a = b.
Înlocuim b cu 2a în prima relație și obținem a + 2a = 300, deci a = 100 și b = 200.

4. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 3.

a)  Reprezentaţi grafic funcţia f într-un sistem de coordonate xOy.

REZOLVARE:
Calculăm f în două puncte f (0) =3 și f (-1) = 1. Graficul funcției este dreapta care trece prin punctele de coordonate M(0, 3) și N(-1, 1).

b) În sistemul de coordonate xOy, determinaţi abscisa punctului care aparţine graficului funcţiei f, ştiind că punctul are abscisa egală cu ordonata.

REZOLVARE:
f(x) = x, înseamnă x = 2x + 3  ceea ce ne dă x = -3.

5. Se consideră expresia \(\begin{align} & E\left( x \right)=\frac{{{\left( x+2 \right)}^{2}}-9}{{{x}^{2}}-25}~:\frac{x-1}{x-5} \end{align}\) , unde x este număr real, x≠-5, x≠1 şi x≠5. Arătaţi că E(x)=1, pentru orice x număr real,  x≠-5, x≠1 şi x≠5.

 

REZOLVARE:

\(\begin{align} & E\left( x \right)=\frac{{{\left( x+2 \right)}^{2}}-9}{{{x}^{2}}-25}~:\frac{x-1}{x-5}=\frac{{{x}^{2}}+4x-5}{\left( x-5 \right)\left( x+5 \right)}\cdot \frac{x-5}{x-1}=\frac{{{x}^{2}}-x+5x-5}{x+5}\cdot \frac{1}{x-1}=\frac{x\left( x-1 \right)+5\left( x-1 \right)}{\left( x+5 \right)\left( x-1 \right)}= \\  & =\frac{\left( x+5 \right)(x-1)}{\left( x+5 \right)(x-1)}=1 \\ \end{align}\)

Subiectul al III-lea – pe foaia de examen scrieți rezolvările complete.   (30 de puncte)

1. În Figura 2 este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB = 8√3cm și AD = 8cm. Pe segmentul BD se consideră punctele E și F astfel încât m(∢DAE) = m(∢EAF) = m(∢FAB).

a. Arătați că perimetrul dreptunghiului ABCD este egal cu 16(√3+1)cm.

REZOLVARE:

Perimetrul este P = 2⋅8√3 +2⋅8 = 16√3 + 16 = 16(√3 + 1)

b. Demonstrați că punctele A, F și C sunt coliniare.

REZOLVARE:
Desenăm AC.

Avem \(\text{tg}\left( \sphericalangle BAC \right)\text{ }=\text{ BC }:\text{ AB }=\frac{1}{\sqrt{3}}\), deci \(m\left( \sphericalangle BAC \right)={{30}^{\circ }}\).

Avem și \(m(\sphericalangle BAF)=m(\sphericalangle BAD):3=90:3={{30}^{\circ }}\)

Deci \(m(\sphericalangle BAC)=m(\sphericalangle BAF)\) de unde rezultă că A, F și C sunt coliniare.

c. Ştiind că FM ∥ AB, unde M ∈ (AD) și N este punctul de intersecție al dreptelor FM si AE, demonstrați că dreptele DN și AC sunt perpendiculare.

REZOLVARE:

Deoarece F este la intersecția diagonalelor avem AF = DF, deci triunghiul AFD este isoscel. În plus \(m(\sphericalangle FAD)=m(\sphericalangle BAD)-m(\sphericalangle BAF)={{90}^{\circ }}-{{30}^{\circ }}={{60}^{\circ }}\), deci triunghiul AFD este echilateral.

Cum FM ∥ AB, avem că FM ⊥ AD deci e înălțime în triunghiul AFD.

Cum \(m(\sphericalangle DAE)=m(\sphericalangle EAF)\), avem că AE e bisectoare în triunghiul AFD, iar pentru că triunghiul este echilateral, AE este și înălțime.

Am obținut că N se află la intersecția înălțimilor triunghiului AFD, deci DN este înălțime în triunghiul AFD, deci DN e perpendiculară pe AF (deci pe AC).

2. In figura 3 este reprezentat un cilindru circular drept cu generatoarea AA’=12cm. Segmentul AB este diametrul bazei cilindrului, AB = 10cm și punctul O’ este mijlocul diametrului A’B’.

a. Arătați că aria laterală a cilindrului circular drept este egală cu 120πcm².

REZOLVARE:

\({{\text{A}}_{\text{lat}}}=\text{ 2}\pi \text{Rh }=\text{ 2}\pi \text{ }\cdot \text{ A}\text{O}\text{ }\cdot \text{ AA}\text{ }=\text{ 2}\pi \text{ }\cdot \text{ 5 }\cdot \text{ 12 }=\text{ 12}0\pi\)

b. Demonstrați că segmentul A’B are lungimea mai mică decat 16cm.

REZOLVARE:

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul A’AB și obținem

\(\text{A}{{\text{B}}^{\text{2}}}=\text{ A}{{\text{A}}^{2}}+\text{ A}{{\text{B}}^{2}}=\text{ 144 }+\text{ 1}00\text{ }=\text{ 244 }<\text{ 256 }=\text{ 1}{{\text{6}}^{2}}\)

deci A’B < 16.

c. Calculați valoarea sinusului unghiului dintre dreapta AO’ și planul uneia dintre bazele cilindrului circular drept.

REZOLVARE:

Planul A’AO’ este perpendicular pe planul bazei A’B’, deci unghiul dintre AO’ și planul bazei A’B’ este unghiul AO’A’. Avem:

\(\text{sin }\left(∢ \text{AO}\text{A} \right)\text{ }=\text{ AA}\text{ }:\text{ AO}\text{ }=\text{ 12 }:\text{ }\sqrt{\left( {{\text{5}}^{\text{2}}}+\text{ 1}{{\text{2}}^{\text{2}}} \right)}\text{ }=\text{ 12 }:\text{ }\sqrt{\text{169}}\text{ }=~\frac{12}{13}\)

***

Ai nevoie de ajutor la mate? ExamenulTau.ro este singura paltformă educaţională din România destinată rezolvării temelor zilnice la mate şi română, recapitulării înainte de lucrări de control şi teze semestriale şi pregătirii pentru examenul de Evaluare Naţională, clasa a VIII-a.

Peste 6000 de elevi au beneficiat de ajutorul nostru în pregătirea lor pe perioada gimnaziului şi au reuşit să fie admişi la liceele la care şi-au dorit!

Este rândul tău!