SUBIECTE REZOLVATE – simulare evaluare nationala 2017, proba la MATEMATICA

Subiectul I.2

Daca x si y sunt numere reale nenule astfel incat x / 3 = 4 / y, atunci  xy / 12 este egal cu … .

Pasul 1. Aplicam proprietatea fundamentala a proportiilor si aflam valoarea produsului xy.

x / 3 + 4 / y ⇒ xy = 4 ⋅ 3 ⇒ xy = 12.

Pasul 2. Calculam valoarea raportului  xy / 12.

xy / 12 = 12 / 12 ⇒ xy / 12 = 1

Subiectul I.3

Produsul numerelor intregi din intervalul  [-3 , 2]  este egal cu … .

Pasul 1. Determinam numerele intregi din intervalul [-3 , 2] .

[-3 , 2] ∩ Z = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}

Pasul 2. Calculam produsul numerelor intregi din intervalul [-3 , 2] . Cum unul dintre termenii produsului este 0, rezulta ca produsul este zero.

P = (-3) ⋅ (-2) ⋅ (-1) ⋅ 0 ⋅ 1 ⋅ 2 = (-6) ⋅ 2 ⋅ 0 = 0

Subiectul I.4

Un cerc are lungimea egala cu 100 π cm. Raza cercului este … cm.

1. Pornim de la formula pentru lungimea cercului in functie de raza sa, R.

L = 2 π R

2. Rezolvam ecuatia obtinuta prin inlocuirea lungimii cercului cu 100π si aflam raza.

L = 100 π cm

100π cm = 2 π ⋅ R ⇒ R = 100 : 2 = 50 cm

Subiectul I.5

În Figura 1 este reprezentat un cub ABCDA’B’C’D’ cu AB = 6 cm.  Perimetrul triunghiului ACD’ este egal cu … cm.

1. Scriem datele problemei:

ABCDA’B’C’D” cub

AB=6 cm

P_ACD’=?

Pentru a calcula AC, D’C și D’A  care sunt diagonalele bazei, respectiv fetelor cubului, folosim formula pentru diagonala patratului d = a√2  Rezulta:

AC = D’C = D’A = AB√2 = 6√2 cm

Obtinem faptul ca triunghiul ACD’ este echilateral.

Perimetrul triunghiului echilateral este dat de formula P_{▵ echilateral} = 3 ⋅ l , unde l = AC = 6 radic 2 este lungimea laturii triunghiului. Obtinem:

3 ⋅ AC = 3 ⋅ 6√2 cm rezulta P_▵ACD’ = 18√2

Subiectul I.6

In diagrama de mai jos sunt prezentate valorile temperaturilor inregistrate la o statie meteo, din doua in doua ore pe parcursul zilei, intre ora 7 și ora 19. Conform diagramei, diferenta dintre temperatura inregistrata la ora 17 si temperatura inregistrata la ora 7 este egala cu … ^oC.

1. Interpretăm datele problemei:

• Temperatura inregistrata la ora 17 este valoarea corespunzatoare orei 17 de pe axa notata „Temperatura”. Aceasta este de 26 ^o
• Temperatura inregistrata la ora 7 este valoarea corespunzatoare orei 7 de pe axa notata „Temperatura”. Aceasta este de 14 ^o

2. Diferenta dintre temperatura inregistrata la ora 17 si temperatura inregistrata la ora 7 este egală cu 26 – 14 = 12 ^o

Subiectul II. 1

Desenati, pe foaia de examen, o piramida triunghiulara regulata cu varful V și baza triunghiul ABC.

1. Construim baza piramidei pe care, desi este triunghi echilateral, o desenam ca pe un triunghi oarecare. Apoi trasam medianele corespunzatoare a doua dintre laturi.

2. Prin punctul de intersectie al medianelor, centrul bazei, construim perpendiculara pe planul bazei.

3. Unim capatul inaltimii, care nu apartine planului bazei, cu varfurile bazei si obtinem o piramida triunghiulara regulată.

4. Notam cu V, varful piramidei si baza cu ABC.

Subiectul II. 2

Determinati numerele intregi x pentru care numarul 13 / (x – 7) este natural.

Pasul 1. Scriem conditia ca 13 / (x – 7) sa fie natural:

13 / (x – 7) ∈ N ⇒ x – 7 ∈ D₁₃ ⇒ x – 7 ∈ {1 , 13}

Pasul 2. Egalam x-7 cu fiecare dintre divizorii lui 13 si rezolvam ecuatiile care rezulta.

x – 7 = 1 ⇒ x = 1 + 7 ⇒ x = 8

x – 7 = 13 ⇒ x = 13 + 7 ⇒ x = 20

Rezulta că numerele întregi x pentru care 13 / (x – 7) este natural sunt 8 și 20.

Subiectul II. 3

Suma a doua numere naturale este egala cu 280. Determinati cele doua numere, stiind ca o treime din primul numar este egala cu o patrime din al doilea numar.

Pasul 1. Notam cu a primul numar și cu b pe cel de-al doilea. Apoi transpunem datele problemei în relații matematice. Rezultă:

a + b = 280

1/3 ⋅ a = 1/4 ⋅ b ⇒ a/3 = b/4.

Pasul 2. Egalam cea de-a doua relatie cu k si scriem numerele a si b in functie de acesta.

a/3 = b/4    ⇒

a/3 = k    ⇒   a = 3k

b/4 = k    ⇒ b = 4k

Pasul 3. Inlocuim a si b in functie de k in prima relatie si rezolvam ecuatia obtinuta. Apoi determinam numerele a și b.

a + b = 280  ⇒   3k + 4k = 280  ⇒  7k = 280   ⇒  k = 40

a = 3k  ⇒  a = 3 ⋅ 40   ⇒  a = 120

b = 4k  ⇒  b = 4 ⋅ 40   ⇒  b = 160

In concluzie, numerele cautate sunt a = 120 si b = 160.

Subiectul II. 4

Aratati ca √2 / (√2 – 1) + 2(√2 – 1) / √2 = 4.

Pasul 1. Rationalizam numitorul si simplificam, daca este posibil. Obtinem:

√2 / (√2 – 1) + 2(√2 – 1) / √2 = √2(√2 + 1) / (2 – 1) + 2√2 (√2 – 1) / 2 = √2 (√2 + 1) + √2 (√2 + 1)

Pasul 2. Desfacem parantezele si reducem termenii asemenea.

√2 / (√2 – 1) + 2(√2 – 1) / √2 = (2 (√2 + 1) + √2 (√2 – 1) = (√2)² + √2 + (√2)² – √2 = 2 + 2 = 4

b) Calculati media geometrica a numerelor a = (√5 + √3)² si b = (√5 – √3)².

Pasul 1. Pentru a calcula media geometrica a numerelor a si b folosim formula m_g = √a⋅b . Inlocuim a si b din enunt in formula si obtinem:

Subiectul II. 5

Se considera E = x² + y² -2xy -3x – 3y + 2(2xy + 3) , unde x si y sunt numere reale. Stiind ca  x + y = 5 , aratati ca E = 16 .

Pasul 1. Desfacem paranteza si reducem termenii asemenea, daca este posibil.
E = x² + y² – 2xy – 3x – 3y +2(2xy + 3) ⇒

E = x² + y² – 2xy – 3x – 3y +4xy + 6 ⇒

E = x² + y² – 2xy + 4xy – 3x – 3y +  6 ⇒

E = x² + y² + 2xy – 3x – 3y +  6

Pasul 2. Restrangem, folosind formula a² + b² + 2ab = (a + b)² , dam factor comun si punem in evidenta pe  (x + y)

E = x² + y² + 2xy – 3x – 3y +  6 ⇒

E = (x + y)² – 3(x + y) + 6

Pasul 3. Inlocuim  in expresie si efectuam calculele. Obtinem:

E = (x + y)² – 3(x + y) + 6 ⇒

E = 5² – 3 ⋅ 5 + 6 = 25 – 15 + 6 = 10 + 6 ⇒ E = 16

Subiectul III. 1

În Figura 2 este reprezentat un triunghi dreptunghic ABC cu m∢(BAC) = 90℃ , AB = 9cm și AC = 12cm. Punctele M și N apartin laturii BC, punctul Q apartine laturii AB si punctul P apartine laturii AC, astfel incat BM = MN = NC = MQ = NP.

a) Aratati ca perimetrul triunghiului ABC este egal cu 36 cm.

Pasul 1. Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul ABC,  in care cunoastem AB = 9cm si AC = 12cm.   Rezulta:

BC² = AB² + AC²  ⇒  BC² = 9² + 12²  ⇒  BC² = 81 + 144  ⇒  BC = √225  ⇒ BC = 15cm

Pasul 2. Calculam perimetrul  triunghiului ABC. Obtinem:

P_▵ABC = AB + BC + AC = 9cm + 12cm + 15cm ⇒ P_▵ABC = 36cm.

b) Aratati ca aria triunghiului PMC este egala cu 24 cm².

Pasul 1.  In triunghiul PMC: N mijlocul lui NC,  MN = NCm  rezulta ca PN este mediana corespunzatoare laturii MC. Din faptul ca MN = NC = PN rezulta ca PN = MC / 2 si , aplicand reciproca Teoremei medianei, rezulta ca triunghiul PMC este dreptunghic,  m∢(MPC) = 90°

Rezulta ca ▵MPC ~ ▵BAC.

Pasul 2. Determinam in continuare lungimea laturii MC. Din faptul ca BM = MN = NC si BM + MN + NC = BC , rezulta ca 3NC = BC ⇒ 3NC = 15 ⇒ NC = 15:3 ⇒ NC = 5cm. Obtinem astfel ca BM = MN = NC = 5cm si, cum MC = MN + NC, rezulta MC = 5 + 5 ⇒ MC = 10cm.

Pasul 3. Raportul de asemanare intre triunghiurile  MPC si ABC este:

k = MC / BC + 10 / 15 ⇒ k = 2/3.

Dar raportul ariilor celor doua triunghiuri este  egal cu patratul raportului de asemanare, A_▵MPC/A_▵ABC = k2 = (2/3)² ⇒  A_▵MPC/A_▵ABC = 4/9.

Cum A_▵ABC = AB ⋅ AC / 2 = 9 ⋅ 12 / 2 = 108 / 2 = 54cm², rezulta

A_▵ABC/54 = 4/9 ⇒ A_▵ABC = 54⋅4 / 9 = 216 / 9 ⇒ A_▵ABC = 24cm²

c) Demonstrati ca patrulaterul MNPQ este romb.

Pasul 1.In triunghiul PMC: M mijlocul lui BN, BM = MN rezulta ca QM este mediana corespunzătoare laturii BN. Din faptul ca BM = MN = QM rezulta ca QM = BN / 2 si, aplicand reciproca Teoremei medianei, rezulta ca triunghiul BQN este dreptunghic,  m∢(BQN) = 90°.

Pasul 2. Comparam triunghiurile dreptunghice BQN și MPC: BN = MC = 10cm (ip) ; MP || BQ (perpendiculare pe aceeasi dreapta, AC) rezulta ca  (unghiuri corespondente).

Obtinem, conform cazului de congruenta  faptul ca ▵BQN ≡ ▵MPC ⇒ BQ = PM.

Cum Mp || BQ si BQ = PM rezulta ca BMPQ este paralelogram, deci QP ||BM si QP = BM.

In patrulaterul MNPQ cunoastem QM = MN = NP si, cum BM = MN , rezulta QM = MN = NP = QP , rezulta MNPQ romb.

Subiectul III. 2

În Figura 3 este  reprezentat  un  patrat  ABCD  cu  AB = 4 cm .  Pe  planul  patratului ABCD se construiesc perpendicularele AE și CF  astfel încât AE = 2√6 cm și CF = 2√2 cm .

a) Arătați că AC = 4√2

Pasul 1. Pentru a calcula lungimea diagonalei AC a patratului ABCD folosim formula d = l√2 unde l reprezintă latura patratului. Inlocuim l = AB = 4cm in formula si obtinem AC = AB√2 = 4√2cm.

b) Aratati ca aria triunghiului FBD este egala cu 8√2cm².

Pasul 1. notam cu {O} = AC ∩ BD si demonstram ca d(F, BD) = FO.

FC ⊥ (CBD), F ∉ (CBD) (1)

Co ⊥ BD, CO , BD ⊂ (CBD) (2)

din (1) si (2) ⇒ FO ⊥ BD (3)

Pasul 2. In triunghiul dreptunghic FCO, m∢(FCO) = 90 °, in care cunoastem FC = 2√2 cm si CO = AC/2 = 4√2/2 = 2√2 , aplicam Teorema lui Pitagora.

FO² = FC² + CO² = (2√2)² + (2√2)² = 8 + 8 ⇒ FO = √16 ⇒ FO = 4cm.

Pasul 3. Pentru a calcula aria triunghiului FBD aplicam formula A = b⋅h/2 , unde b = BD = 4√2cm reprezinta baza triunghiului si h = FO = 4cm , reprezinta inaltimea corespunzatoare bazei. Obtinem:

c) Demonstrati ca unghiul dintre planele (EBD) și (FBD) are masura egala cu 75°.

Pasul 1. Construim EO și demonstram ca unghiul dintre planele (EBD) și (FBD) este ∢EOF.

EA ⊥ (CBD) , E ∉ (ABD)   (1)

AO ⊥ BD , AO, BD ⊂ (ABD)  (2)

Rezulta, conform teoremei celor 3 perpendiculare, ca EO ⊥ BD  (3).

Pasul 2. In triunghiul dreptunghic FCO, m ∢ (FCO) = 90° cunoaștem FC = CO = 2√2 cm.  Rezulta ca ▵ FCO este dreptunghic isoscel, deci m ∢(FOC) = 45°.

Pasul 3. In triunghiul dreptunghic EAO, m ∢ (EAO) = 90 cunoaștem EO = 2√6 cm și AO = 2√2 cm.  Rezultă că tg (∢ (EOA) = cateta opusa / cateta alaturata = EA / AO =  2√6 / 2√2 = √3 . Cum  rezulta ca  √3 = tg 60° , rezulta ca m ∢ (EOA) = 60°.

Pasul 4. Calcula m(∢EOF) ca diferenta dintre m(∢AOC) si m(∢EOA), respectiv m(∢FOC). Obtinem:

m(∢EOF) = m(∢AOC) – m(∢EOA) – m(∢FOC) = 180° – 60° – 45° ⇒

m(∢EOF) = 120° – 45° = 75° ⇒ m(∢((EBD), (FBD))) = 75°.

Ti-au placut exercitiile rezolvate si explicate de catre specialistii nostri?
Te asteptam pe ExamenulTau.ro cu si mai multe probleme matematice rezolvate in pasi, teste interactive, lectii online si simulari de examen!