Rezolvari Subiecte Matematica BAC 2016 – Profil Tehnologic
Subiectul I
1. Arătați că 
Rezolvare:
2. Determinați numărul real a, știind că punctul A(1,0) aparține graficului funcției 
Rezolvare:
Pornim de la condiția ca un punct, 
să aparțină graficului funcției f. Rezultă, din 
Obținem 
3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 
Rezolvare:
Pentru început, deoarece radicalul este de ordin par (doi), punem condiția de existență a radicalului. Rezultă 
Ridicăm la pătrat și rezolvăm ecuația care rezultă.
Cum 
rezultă că soluția ecuației este dată de mulțimea S = {24}.
4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea
acesta să fie multiplu de 30.
Rezolvare:
Pentru a calcula probabilitatea producerii unui eveniment A folosim formula 
În cazul nostru, numărul cazurilor favorabile este numărul de numere din mulțimea M, multiplii de 30. Obținem numerele 30,60,90, deci nr.cazurifavorabile = 3.
Numărul cazurilor posibile este numărul total de numere din mulțimea M sau cardinalul mulțimii M, deci nr.cazuri posibile card (M) = 9.
Obținem 
5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,5) și B(7,5).
Determinați coordonatele mijlocului segmentului AB.
Rezolvare:
Mijlocul segmentului determinat de punctele 
notat 
are coordonatele 
Înlocuind coordonatele punctelor A(3,5) și B(7,5), obținem 
ÃŽn concluzie, mijlocul segmentului AB este M(5,5).
6. Dacă 
arătați că 
Rezolvare:
Cum 
rezultă că trebuie să calculăm sin x. Dar 
se află în primul cadran, deci rezultă:
Înlocuim în formula 
și obținem: 
Subiectul II
1. Se consideră matricele 
a) Arătați că det A=1.
Rezolvare:
Calculăm determinatul matricei A.
b) Arătați că 
Rezolvare:
Calculăm, pentru început, 
Înlocuim matricea obținută și pe A în calculul din cerință. Rezultă:
c) Determinați numerele reale x și y, pentru care 
Rezolvare:
Calculăm, pentru început, A+B.
și, prin egalarea elementelor de pe aceeași poziție, obținem 
rezolvăm ecuațiile obținute.
2. Se consideră polinomul 
a) ArătaÈ›i că f(1) = – 2.
Rezolvare:
Pentru început scriem funcția polinomială atașată polinomului,
Calculăm f(1) înlocuind x cu 1 în legea funcției polinomiale. Rezultă:
b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X+1.
Rezolvare:
Pentru a calcula restul împărțirii polinomului f la X+1 nu trebuie nimic altceva decât să calculăm f(-1) am folosit proprietatea care spune că restul împărțirii polinomului f la polinomul X+a este R= f(-a).
Obținem:
Cum R = f (-1) = 0, rezultă că polinomul f se divide cu polinomul X+1 și, în plus, se poate scrie f=R⋅C, unde C reprezintă câtul împărțirii polinomului f la X+1.
Rezultă:
c) Demonstrați că 
sunt rădăcinile polinomului f.
Rezolvare:
Pentru început, calculăm suma rădăcinilor polinomului f folosind una dintre relațiile lui Viete, 
Coeficienții polinomului 
În altă ordine de idei, observăm că produsul cerut se poate scrie în funcție de S1. Obținem:
Rezultă de aici că
Subiectul III
1. Se consideră funcția 
a) Arătați că 
Rezolvare:
Calculăm derivata funcției f folosind formula de derivare a funcției polinomiale,
b) Arătați că 
Rezolvare:
Pentru a calcula limita, încercăm să scriem funcția sub o altă formă.
c) Demonstrați că 
Rezolvare:
Studiem monotonia funcției f.
Pentru început rezolvăm ecuaÈ›ia f ‘ (x) = 0. ObÅ£inem:
Rezolvăm cele două ecuații: 
Acum studiem semnul lui 
Dacă semnul derivatei este + (plus), atunci funcția este crescătoare pe tot intervalul, iar dacă semnul derivatei este – (minus) , atunci funcția este descrescătoare pe tot intervalul. Pentru aceasta stabilim semnul valorilor pe care le ia f'(x) pentru valori cuprinse în interiorul acestor intervale.
Studiem comportamentul funcției pe intervalul 
pe care-l scriem careuniune de două intervale, 
Cum pe intervalul [-1, 1] funcția este crescătoare, rezultă
Cum pe intervalul 
funcția este descrescătoare, rezultă
Din relațiile (1) și (2) și din 
rezultă că 
pentru orice 
2. Se consideră funcția 
a) Arătați că 
Rezolvare:
Determinăm, pentru început, f(x) – 2. ObÈ›inem f(x) – 2 = x + 2- 2= x.
Rezultă 
b) Arătați că
Rezolvare:
Aplicăm formula de integrare prin părți, adică 
Pentru aceasta considerăm
Calculăm f’ (x) ÅŸi g (x), iar, apoi, înlocuim în formula de integrare prin părÈ›i. Rezultă:
Înlocuim f’ și g în formula de integrare prin părți. Rezultă:
c) Determinați numărul real a, știind că 
Rezolvare:
Stabilim mulțimea valorilor pe care le poate lua a.
Din prima integrală rezultă că a>0 iar din a doua,
Obținem 0< a < 6, deci 
Calculăm fiecare integrală în parte și, apoi, egalăm rezultatele rezolvând ecuația care rezultă.
