Rezolvari Subiecte Matematica BAC 2016 – Profil Tehnologic

13/07/2016
Rezolvari Subiecte Matematica BAC 2016

Rezolvari Subiecte Matematica BAC 2016

Rezolvari Subiecte Matematica BAC 2016 – Profil Tehnologic

Subiectul I

1. Arătați că 

Rezolvare:

 

2. Determinați numărul real a, știind că punctul A(1,0) aparține graficului funcției 

Rezolvare:
Pornim de la condiția ca un punct,  să aparțină graficului funcției f. Rezultă, din 

Obținem 

 

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 

Rezolvare:
Pentru început, deoarece radicalul este de ordin par (doi), punem condiția de existență a radicalului. Rezultă 

Ridicăm la pătrat și rezolvăm ecuația care rezultă.

Cum rezultă că soluția ecuației este dată de mulțimea S = {24}.

 

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea

acesta să fie multiplu de 30.

Rezolvare:

Pentru a calcula probabilitatea producerii unui eveniment A folosim formula 

În cazul nostru, numărul cazurilor favorabile este numărul de numere din mulțimea M, multiplii de 30. Obținem numerele 30,60,90, deci nr.cazurifavorabile = 3.
Numărul cazurilor posibile este numărul total de numere din mulțimea M sau cardinalul mulțimii M, deci nr.cazuri posibile card (M) = 9.

Obținem 

 

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,5) și B(7,5).
Determinați coordonatele mijlocului segmentului AB.

Rezolvare:
Mijlocul segmentului determinat de punctele  notat = are coordonatele 

Înlocuind coordonatele punctelor A(3,5) și B(7,5), obținem 

În concluzie, mijlocul segmentului AB este M(5,5).

 

6. Dacă  arătați că 

Rezolvare:

Cum  rezultă că trebuie să calculăm sin x. Dar  se află în primul cadran, deci rezultă:

Înlocuim în formula și obținem: 

 

Subiectul II

1. Se consideră matricele 

a) Arătați că det A=1.

Rezolvare:

Calculăm determinatul matricei A.


b) 
Arătați că 

Rezolvare:

Calculăm, pentru început, 

Înlocuim matricea obținută și pe A în calculul din cerință. Rezultă:

c) Determinați numerele reale x și y, pentru care 

Rezolvare:

Calculăm, pentru început, A+B.

 și, prin egalarea elementelor de pe aceeași poziție, obținem  rezolvăm ecuațiile obținute.

 

2. Se consideră polinomul 

a) Arătați că f(1) = – 2.

Rezolvare:
Pentru început scriem funcția polinomială atașată polinomului,

 Calculăm f(1) înlocuind x cu 1 în legea funcției polinomiale. Rezultă:

 

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X+1.

Rezolvare:
Pentru a calcula restul împărțirii polinomului f la X+1 nu trebuie nimic altceva decât să calculăm f(-1) am folosit proprietatea care spune că restul împărțirii polinomului f la polinomul X+a este R= f(-a).

Obținem:

Cum R = f (-1) = 0, rezultă că polinomul f se divide cu polinomul X+1 și, în plus, se poate scrie f=R⋅C, unde C reprezintă câtul împărțirii polinomului f la X+1.
Rezultă:

c) Demonstrați că  sunt rădăcinile polinomului f.

Rezolvare:

Pentru început, calculăm suma rădăcinilor polinomului f folosind una dintre relațiile lui Viete,   Coeficienții polinomului 

În altă ordine de idei, observăm că produsul cerut se poate scrie în funcție de S1. Obținem:

Rezultă de aici că

 

Subiectul III

1. Se consideră funcția 

a) Arătați că 

Rezolvare:

Calculăm derivata funcției f folosind formula de derivare a funcției polinomiale,

b) Arătați că 

Rezolvare:

Pentru a calcula limita, încercăm să scriem funcția sub o altă formă.


c)
 Demonstrați că 

Rezolvare:

Studiem monotonia funcției f.
Pentru început rezolvăm ecuația f ‘ (x) = 0. Obţinem:

Rezolvăm cele două ecuații: 

Acum studiem semnul lui  

Dacă semnul derivatei este + (plus), atunci funcția este crescătoare pe tot intervalul, iar dacă semnul derivatei este – (minus) , atunci funcția este descrescătoare pe tot intervalul. Pentru aceasta stabilim semnul valorilor pe care le ia f'(x) pentru valori cuprinse în interiorul acestor intervale.

Studiem comportamentul funcției pe intervalul  pe care-l scriem careuniune de două intervale, 

Cum pe intervalul [-1, 1] funcția este crescătoare, rezultă

Cum pe intervalul  funcția este descrescătoare, rezultă

Din relațiile (1) și (2) și din  rezultă că    pentru orice 

 

2. Se consideră funcția 

a) Arătați că 

Rezolvare:

Determinăm, pentru început, f(x) – 2. Obținem f(x) – 2 = x + 2- 2= x.

Rezultă 

 

b) Arătați că

Rezolvare: 
Aplicăm formula de integrare prin părți, adică 
Pentru aceasta considerăm  Calculăm f’ (x) şi g (x), iar, apoi, înlocuim în formula de integrare prin părți. Rezultă:

Înlocuim f’ și g în formula de integrare prin părți. Rezultă:

 

c) Determinați numărul real a, știind că 

Rezolvare:

Stabilim mulțimea valorilor pe care le poate lua a.
Din prima integrală rezultă că a>0 iar din a doua, Obținem 0< a < 6, deci 

Calculăm fiecare integrală în parte și, apoi, egalăm rezultatele rezolvând ecuația care rezultă.

82

Nu uita sa dai share:
Share on Facebook
Facebook
Tweet about this on Twitter
Twitter
Share on LinkedIn
Linkedin
Share on Whatsapp
Whatsapp
The following two tabs change content below.

Bianca Varbanciu - Editor Coordonator ExamenulTau.ro

Bine ati venit pe Blogul ExamenulTau.ro! Aici veti gasi informatii utile despre Examenul de Evaluare Nationala, clasa a VIII-a, admiterea la liceu, sfaturi de invatare si multe altele. Testele si meditatiile online la matematica si romana care se regasesc in platforma ExamenulTau.ro va vor ajuta sa intrati la liceul dorit! Mult succes!

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată.