Rezolvari Subiecte Matematica BAC 2016 – Profil Matematica-Informatica

14/07/2016
rezolvari subiecte matematica BAC 2016

rezolvari subiecte matematica BAC 2016

Rezolvari Subiecte Matematica BAC 2016 – Profil Matematica-Informatica

Subiectul I
1. Arătați că 

Rezolvare:

Folosim formula 

Obținem 

2. Calculați produsul 

Rezolvare:

Calculăm fiecare valoare a funcției și înlocuim în produs  

Cum f(-1) = 0, rezulta, inlocuind in produs f (0) ⋅ f (1) = a, că f(-1) ⋅ f(0) ⋅ f(1) = 0 ⋅ a = 0.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 

Rezolvare:
Punem condiția de existență logaritmului din membrul stâng. Rezultă  Rezolvăm, pentru început, ecuația 

Avem a=1, b= -6, c=6 și, de aici, rezultă

Cum a=1, condiția de existență a logaritmului,  are loc pentru

Rezolvăm ecuația obținută și verificăm dacă soluțiile aparțin domeniului de existență.

rezultă că mulțimea soluțiilor ecuației este S = {1,5}.

 

4. Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifrele 5,7,8 și 9.

Rezolvare:

Deoarece numerele sunt pare, atunci ele trebuie să se termine într-o cifră pară și, cum singura cifră pară din enunț este 8, rezultă că numerele vor fi de forma  cu a și b aparținănd mulțimii    Rezolvarea problemei se rezumă la a determina câte numere de două cifre distincte se pot forma cu cifrele 5,7 și 9. Obținem, prin prisma faptului că ordinea în care apar cifrele contează,numere. În concluzie se pot forma 6 numere naturale pare, de trei cifre distincte, cu cifrele 5,7,8 și 9.

 

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,0) și B(1,2). Determinați ecuația dreptei d care trece prin O și este paralelă cu dreapta AB.

Rezolvare:
Pentru început calculăm panta dreptei determinată de punctele   și , notată  Aceasta este Înlocuind coordonatele punctelor A(1,0)  și B(1,2), obținem  Cum dreapta d este paralelă cu dreapta AB, aceasta va avea ecuațiaDar d trece prin originea sistemului de axe O (0, 0). Rezultă, înlocuind x=y=0 în ecuația dreptei d, că  Deci, ecuația dreptei d este 

 

6. Arătați că  , pentru orice număr real x.
Rezolvare:
Folosim formulele sin(a+b) = sin a cos b + sin b cos a, sin (a-b) = sin a cos b – sin b cos a și faptul că 

Obținem:

Înlocuind în relația din enunț, rezultă:

 

Subiectul II
1. Se consideră matricea  unde x este un număr real.

a) Arătați că det ( A(1) ) = 1.

Rezolvare:
Determinăm matricea A(1) înlocuindu-l pe x cu 1 în A(x).

Calculăm determinatul matricei A(1). Obținem: 

b) Demonstrați că A(x) ⋅ A(y) = A (x+y),  pentru orice numere reale x și y.

Rezolvare:
Calculăm A(x) ⋅ A(y)  și încercăm să scriem matricea care rezultă în funcție de (x+1).

c) Determinați numărul real a,a1,≠−1 știind că

Rezolvare:

Pornind de la relația demonstrată la pasul anterior, A(x) ⋅ A(y) = A (x+y), se poate demonstra foarte ușor, prin inducție matematică, faptul că

Din egalitatea prezentată în enunț rezultă:

 

2. Se consideră polinomul  36 unde m este număr real

a) Determinați numărul real m, știind că f(1) = 0.

Rezolvare:

Pentru început scriem funcția polinomială atașată polinomului, Calculăm f(1) înlocuind x cu 1 în legea funcției polinomiale, egalăm cu 0 și rezolvăm ecuația care rezultă.

 

b) Demonstrați că  pentru orice număr real m, unde  sunt rădăcinile polinomului f.

Rezolvare:

Pentru început, calculăm suma rădăcinilor polinomului f folosind una dintre relațiile lui Viete,  Coeficienții polinomului

În altă ordine de idei, observăm că  se poate scrie în funcție de suma pătratelor rădăcinilor și Calculăm    și obținem: 

Dar 

 

c) Pentru m=3, descompuneți polinomul f în factori ireductibili în 

Rezolvare:

Înlocuim m=3 în polinomul f și încercăm să dăm factor comun. 
Cum pentru  ecuația atașată  nu are soluții reale, rezultă că descompunerea lui f în factori ireductibili este 

 

Subiectul III

1. Se consideră funcția 

a) Arătați că 

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x=0, situat pe graficul funcției f.

Rezolvare:
Pentru a calcula ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă , situat pe graficul funcției f, folosim formula  

Cum, în cazul nostru, x = 0 calculăm f(0) și f'(0) și, apoi, înlocuim în ecuația tangentei. Obținem

 
 

Înlocuim f(0) și f'(0) în ecuația tangentei. Rezultă:
Ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisăsituat pe graficul funcției f este y=x.

 

c) Demonstrați că, pentru orice număr real  ecuația f(x) = a are soluție unică.
Rezolvare:
Cum funcția  este o funcție continuă pe  rezultă că și funcția g(x) = f(x) – a este continuă pe

Calculăm limitele funcției f la capetele domeniului de definiție. Cum domeniul de definiție este  vom calcula limitele funcției la

Obținem: Cum   Dar funcția   g(x) = f(x) – a este continuă pe  Rezultă din relațiile anterioare că ecuația g(x) = 0 are soluție unică în    și, de aici, rezultă că ecuația f(x) – a = 0 ⇔ f(x) = a are soluție unică în

 

2. Se consideră funcția 

a) Arătați că 

Rezolvare:
Determinăm, pentru început,   Obținem

Rezultă:

 

b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=1 și x=2 are aria egală cu e.

Rezolvare:
Aria suprafaței plane delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=a și x=b are formula 

Înlocuim  

Aplicăm formula de integrare prin părți, adică  

Pentru aceasta considerăm  iar, apoi, înlocum în formula de integrare prin părți. Rezultă: 
Înlocuim f’ și g în formula de integrare prin părți. Rezultă:
c) Demonstrați că 

Rezolvare:
Determinăm, pentru început,  Obținem

Înlocuim   în integrală și aplicăm formula de integrare prin părți, adică

Pentru aceasta considerăm apoi, înlocum în formula de integrare prin părți. Rezultă:

Înlocuim f’ și g în formula de integrare prin părți. Rezultă:
Cum   rezultă, trecând la limită, că

Nu uita sa dai share:
Share on Facebook
Facebook
Tweet about this on Twitter
Twitter
Share on LinkedIn
Linkedin
Share on Whatsapp
Whatsapp
The following two tabs change content below.

Bianca Varbanciu - Editor Coordonator ExamenulTau.ro

Bine ati venit pe Blogul ExamenulTau.ro! Aici veti gasi informatii utile despre Examenul de Evaluare Nationala, clasa a VIII-a, admiterea la liceu, sfaturi de invatare si multe altele. Testele si meditatiile online la matematica si romana care se regasesc in platforma ExamenulTau.ro va vor ajuta sa intrati la liceul dorit! Mult succes!

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată.