Rezolvari Subiecte Matematica BAC 2016 – Profil Matematica-Informatica
Subiectul I
1. Arătați că 
Rezolvare:
Folosim formula 
Obținem 
2. Calculați produsul 
Rezolvare:
Calculăm fiecare valoare a funcției și înlocuim în produs 
Cum f(-1) = 0, rezulta, inlocuind in produs f (0) ⋅ f (1) = a, că f(-1) ⋅ f(0) ⋅ f(1) = 0 ⋅ a = 0.
3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 
Rezolvare:
Punem condiția de existență logaritmului din membrul stâng. Rezultă 
Rezolvăm, pentru început, ecuația 
Avem a=1, b= -6, c=6 și, de aici, rezultă
Cum a=1, condiția de existență a logaritmului, 
are loc pentru
Rezolvăm ecuația obținută și verificăm dacă soluțiile aparțin domeniului de existență.
rezultă că mulțimea soluțiilor ecuației este S = {1,5}.
4. Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifrele 5,7,8 și 9.
Rezolvare:
Deoarece numerele sunt pare, atunci ele trebuie să se termine într-o cifră pară și, cum singura cifră pară din enunț este 8, rezultă că numerele vor fi de forma 
cu a și b aparținănd mulțimii 
Rezolvarea problemei se rezumă la a determina câte numere de două cifre distincte se pot forma cu cifrele 5,7 și 9. Obținem, prin prisma faptului că ordinea în care apar cifrele contează,
numere. În concluzie se pot forma 6 numere naturale pare, de trei cifre distincte, cu cifrele 5,7,8 și 9.
5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,0) și B(1,2). Determinați ecuația dreptei d care trece prin O și este paralelă cu dreapta AB.
Rezolvare:
Pentru început calculăm panta dreptei determinată de punctele 
și
, notată 
Aceasta este 
Înlocuind coordonatele punctelor A(1,0) și B(1,2), obținem 
Cum dreapta d este paralelă cu dreapta AB, aceasta va avea ecuația
Dar d trece prin originea sistemului de axe O (0, 0). Rezultă, înlocuind x=y=0 în ecuația dreptei d, că 
Deci, ecuația dreptei d este 
6. Arătați că 
, pentru orice număr real x.
Rezolvare:
Folosim formulele sin(a+b) = sin a cos b + sin b cos a, sin (a-b) = sin a cos b – sin b cos a și faptul că 
Obținem:
Înlocuind în relația din enunț, rezultă:
Subiectul II
1. Se consideră matricea 
unde x este un număr real.
a) Arătați că det ( A(1) ) = 1.
Rezolvare:
Determinăm matricea A(1) înlocuindu-l pe x cu 1 în A(x).
Calculăm determinatul matricei A(1). Obținem: 
b) Demonstrați că A(x) ⋅ A(y) = A (x+y), pentru orice numere reale x și y.
Rezolvare:
Calculăm A(x) ⋅ A(y) și încercăm să scriem matricea care rezultă în funcție de (x+1).
c) Determinați numărul real a,a1,≠−1 știind că
Rezolvare:
Pornind de la relația demonstrată la pasul anterior, A(x) ⋅ A(y) = A (x+y), se poate demonstra foarte ușor, prin inducție matematică, faptul că
Din egalitatea prezentată în enunț rezultă:
2. Se consideră polinomul 
unde m este număr real
a) Determinați numărul real m, știind că f(1) = 0.
Rezolvare:
Pentru început scriem funcția polinomială atașată polinomului,
Calculăm f(1) înlocuind x cu 1 în legea funcției polinomiale, egalăm cu 0 și rezolvăm ecuația care rezultă.
b) Demonstrați că 
pentru orice număr real m, unde
sunt rădăcinile polinomului f.
Rezolvare:
Pentru început, calculăm suma rădăcinilor polinomului f folosind una dintre relațiile lui Viete, 
Coeficienții polinomului
În altă ordine de idei, observăm că 
se poate scrie în funcție de suma pătratelor rădăcinilor și 
Calculăm 
și obținem: 
Dar 
c) Pentru m=3, descompuneți polinomul f în factori ireductibili în 
Rezolvare:
Înlocuim m=3 în polinomul f și încercăm să dăm factor comun. 
Cum pentru 
ecuația atașată 
nu are soluții reale, rezultă că descompunerea lui f în factori ireductibili este 
Subiectul III
1. Se consideră funcția 
a) Arătați că 
b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x=0, situat pe graficul funcției f.
Rezolvare:
Pentru a calcula ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 
, situat pe graficul funcției f, folosim formula 
Cum, în cazul nostru, x = 0 calculăm f(0) și f'(0) și, apoi, înlocuim în ecuația tangentei. Obținem
Înlocuim f(0) și f'(0) în ecuația tangentei. Rezultă:
Ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă
situat pe graficul funcției f este y=x.
c) Demonstrați că, pentru orice număr real 
ecuația f(x) = a are soluție unică.
Rezolvare:
Cum funcția 
este o funcție continuă pe 
rezultă că și funcția g(x) = f(x) – a este continuă pe
Calculăm limitele funcției f la capetele domeniului de definiție. Cum domeniul de definiție este vom calcula limitele funcției la 
Obținem:
Cum 
Dar funcția g(x) = f(x) – a este continuă pe Rezultă din relațiile anterioare că ecuația g(x) = 0 are soluție unică în și, de aici, rezultă că ecuația f(x) – a = 0 ⇔ f(x) = a are soluție unică în
2. Se consideră funcția 
a) Arătați că 
Rezolvare:
Determinăm, pentru început, 
Obținem
Rezultă:
b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=1 și x=2 are aria egală cu e.
Rezolvare:
Aria suprafaței plane delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=a și x=b are formula 
Înlocuim 
Aplicăm formula de integrare prin părți, adică 
Pentru aceasta considerăm 
iar, apoi, înlocum în formula de integrare prin părți. Rezultă: 
Înlocuim f’ și g în formula de integrare prin părți. Rezultă:
c) Demonstrați că 
Rezolvare:
Determinăm, pentru început, 
Obținem
Înlocuim 
în integrală și aplicăm formula de integrare prin părți, adică
Pentru aceasta considerăm 
apoi, înlocum în formula de integrare prin părți. Rezultă:
Înlocuim f’ și g în formula de integrare prin părți. Rezultă:
Cum 
rezultă, trecând la limită, că
