Paralelogramul: definitie si proprietati, formule si probleme rezolvate

05/04/2017

Definitie: Se numeste paralelogram patrulaterul cu laturile opuse paralele doua cate doua.

Paralelogram
\(\begin{align} & ABCD\,\,\text{paralelogram}\,\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} AB\parallel DC  \\ AD\,\parallel BC  \\ \end{matrix} \right.\, \\ &  \\ \end{align}\)

Sa vedem care sunt proprietatile paralelogramului.

Proprietatea 1:  Intr-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente (ceea ce inseamna ca unghiurile opuse au aceeasi masura).

\(ABCD\,\,\text{paralelogram}\,\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}    \sphericalangle A\equiv \sphericalangle C  \\    \sphericalangle B\equiv \sphericalangle D  \\ \end{matrix} \right.\,\)

Proprietatea 2: Intr-un paralelogram, unghiurile alaturate unei laturi sunt suplementare (ceea ce inseamna ca suma masurilor acestor unghiuri este egala cu 180° ).

\(ABCD\,\,\text{paralelogram}\,\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}    m\left( \sphericalangle A \right)+m\left( \sphericalangle B \right)=180{}^\circ   \\    m\left( \sphericalangle B \right)+m\left( \sphericalangle C \right)=180{}^\circ   \\    m\left( \sphericalangle C \right)+m\left( \sphericalangle D \right)=180{}^\circ   \\    m\left( \sphericalangle D \right)+m\left( \sphericalangle A \right)=180{}^\circ   \\ \end{matrix} \right.\,\)

 

Proprietatea 3:  Intr-un paralelogram, laturile opuse (laturi ale paralelogramului care nu au extremitati comune) sunt congruente (ceea ce inseamna ca laturile opuse au aceeasi lungime).

in paralelogram laturile opuse sunt congruente

\(ABCD\,\,\text{paralelogram}\,\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( AB \right)\equiv \left( DC \right) \\ \left( AD \right)\equiv \left( BC \right) \\ \end{matrix} \right.\)

Proprietatea 4:  Intr-un paralelogram, diagonalele (segmentele care unesc doua varfuri opuse) se injumatatesc.

in paralelogram diagonalele se injumatatesc

\(ABCD\,\,\text{paralelogram}\,\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( AO \right)\equiv \left( CO \right)  \\ \left( BO \right)\equiv \left( DO \right)  \\ \end{matrix} \right.\)

 

Un caz particular de paralelogram este paralelogramul cu un unghi drept.

Definitie: Se numeste dreptunghi paralelogramul cu un unghi drept. (Sa ne reamintim ca unghiul drept este unghiul care are masura de 90°).

dreptunghi

\(ABCD\,\,\text{dreptunghi}\,\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} ABCD\,\,\text{paralelogram}\, \\ m\left( \sphericalangle A \right)=90{}^{\circ } \\
\end{matrix} \right.\,\,\)

Discutam, in continuare, despre formulele pentru perimetrul si aria paralelogramului.

Definitie: Paralelogramul si dreptunghiul au laturile opuse congruente, adica egale. Daca notam L lungimea laturii mari si l lungimea laturii mici, atunci perimetrul se afla cu formula:
\(P=2\cdot L+2\cdot l=2\cdot (L+l)\,.\)

perimetru paralelogram si dreptunghi

Exemplu rezolvat:

Sa aflam, de exemplu, perimetrul unui paralelogram avand dimensiunile laturilor de 4 cm, respectiv 6 cm.

Rezolvare:

Folosim formula pentru perimetrul paralelogramului,  P = 2⋅(L+l).

Inlocuim  si  in formula perimetrului si obtinem  P = 2⋅(L+l) ⇒ P = 2⋅(6+4) = 2⋅10 = 20cm.

Definitie: Aria paralelogramului se poate afla cu una dintre formulele:

AParalelogram = L⋅l , atunci cand se cunoaste lungimea unei laturi, L, si lungimea inaltimii corespunzatoare ei, h.

aria paralelogramului

AParalelogram = L⋅l⋅sin u , atunci cand se cunosc lungimile laturilor paralelogramului si masura unghiului ascutit al acestuia, u.

aria paralelogramului cand se cunoaste un unghi

Exemplu rezolvat:

Sa determinam, de exemplu, aria paralelogramului ABCD in cele doua situatii:

  1. AB = 6 cm si distanta de la D la AB este egala cu 3 cm.
  2. AB = 4 cm, AD = 3 cm si m(∢A) = 30°

Rezolvare:

  1. In aceasta situatie folosim formula pentru aria paralelogramului, A = L⋅h. Inlocuim L =AB = 6cm si h = d(D,AB) = 3cm in formula ariei si obtinem: AABCD = L⋅h = AB⋅d(D,AB) ⇒ AABCD = 6⋅3 = 18cm2
  2. In aceasta situatie folosim formula pentru aria paralelogramului, A = L⋅l⋅sin u. Inlocuim L = AB = 4cm, AD = 3cm si sinu = sinA = sin30° in formula ariei si obtinem:
\(\begin{align} & {{A}_{\text{ABCD}}}=l\cdot L\cdot \sin u\Rightarrow \\ & {{A}_{\text{ABCD}}}=AD\cdot AB\cdot \sin A\Rightarrow \\ & {{A}_{\text{ABCD}}}=3\cdot 4\cdot \sin {{30}^{0}}=12\cdot \frac{1}{2}=6\,c{{m}^{2}} \ \end{align}\)

Ai nevoie de ajutor la mate? Apeleaza cu incredere la ExamenulTau.ro
singura platforma online de invatare integrata!

Primele 24h iti oferim acces complet gratuit!

Nu uita sa dai share:
Share on Facebook
Facebook
Tweet about this on Twitter
Twitter
Share on LinkedIn
Linkedin
Share on Whatsapp
Whatsapp
The following two tabs change content below.

Bianca Varbanciu - Editor Coordonator ExamenulTau.ro

Bine ati venit pe Blogul ExamenulTau.ro! Aici veti gasi informatii utile despre Examenul de Evaluare Nationala, clasa a VIII-a, admiterea la liceu, sfaturi de invatare si multe altele. Testele si meditatiile online la matematica si romana care se regasesc in platforma ExamenulTau.ro va vor ajuta sa intrati la liceul dorit! Mult succes!

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată.