Astazi recapitulam o lectie la matematica extrem de importanta: cel mai mare divizor comun.
Cel mai mare divizor comun a doua numere naturale a si b este, asa cum arata si numele, cel mai mare numar natural d care divide si pe a si pe b.
d este cel mai mare divizor comun al lui a si b, atunci d | a si d | b
Notatie: daca d este cel mai mare divizor comun al lui a si b, atunci acesta se noteaza d=cmmdc (a,b) sau d=(a,b)
Proprietate: Oricare alt numar natural care divide si pe a si pe b il va divide si pe d.
c | a si c | b ⇒ c | d
Cum se poate afla cel mai mare divizor comun? Prin descompunerea numerelor în factori primi.
Algoritm de calcul: Cel mai mare divizor comun al lor este produsul factorilor comuni, luati o singura data, cu cel mai mic exponent la care apar.
Exemplu de exercitiu rezolvat:
De exemplu, sa aflam cel mai mare divizor comun pentru numerele 84 si 196.
Rezolvare:
cmmdc (84,196)=?
Pasul 1. Descompunem mai intai cele doua numere in factori primi.
Pasul 2. Scriem descompunerile celor doua numere.
84 = 22 · 3 · 7
196 = 22 · 72
Pasul 3. Calculam cel mai mare divizor comun al numerelor.
cmmdc (84,196) = 22 · 7 = 4 · 7 = 28
Am luat factorii 2 si 7 pentru ca apar in ambele descompuneri, adica sunt factori comuni.
Pe 2 l-am luat cu exponentul 2, pentru ca apare si la prima descompunere si la a doua cu acelasi exponent.
Pe 7 l-am luat cu exponentul 1 pentru ca trebuie luat cu cel mai mic exponent la care apare in cele doua descompuneri.
Si sa nu uitam o proprietate foarte importanta:
Doua numere naturale care au cel mai mare divizor comun egal cu 1 se numesc prime intre ele sau relativ prime.
(a,b) = 1 ⇒ a si b sunt numere prime intre ele.
Vrei sa vezi si alte lectii la matematica?
Alatura-te miilor de elevi din Romania care folosesc platforma ExamenulTau.ro zi de zi, ca ajutor la teme si pentru a recapitula materia!
Teste casa le fac eu din clasa a 5 a pana in a 8 a si sa ma corectati voi
Bună Cristina! Îţi mulţumim pentru mesaj! Pentru a beneficia de teste te invităm să le ceri părinţilor tăi să îţi achiziţioneze unul dintre abonamentele ExamenulTau.ro – acestea conţin teste interactive, care îţi oferă nota pe loc, deci nu va fi nevoie să ţi le corectăm noi 🙂 Pentru mai multe detalii, te rog să dai click aici ► ABONAMENTELE EXAMENULTAU.RO.
un gunoi de explicatie. am 31 de ani si sunt inginer electronist.
si tot nu inteleg din explicatia ta *de ce* se calculeaza asa. *de ce* inmultind factorii , ajungi la cel mai mic multiplu.
aceeasi intrebare o aveam si in scoala generala.
nici acum nici atunci nu stiti sa va despartiti de reguli repetate si sa explicati motiv. sunteti niste gunoaie pretentioase.
Bună, Ion. E un mod de a construi CMMDC, nu este o regulă sau un calcul. Însuşi algoritmul conţine explicaţia:
0) Caut decompunerea în factori primi pentru z=cmmdc al x şi y. Dacă o obţin, l-am obţinut şi pe z.
1) Ce numere prime pot apărea în descompunerea lui z? Doar cele care apar şi în descompunerile lui x şi y, altfel n-ar fi divizor (dacă 5 nu apare printre factorii lui x, nu are cum să se regăsească nici printre factorii lui z, pentru că altfel z nu ar mai fi divizor al lui x)
Acum ştim toţi factorii care pot apărea în descompunerea lui z, sunt factorii comuni ai lui x şi y.
2) La ce putere apar aceşti factori? La cea mai mare putere pentru care z încă divide şi x şi y. De exemplu, dacă x conţine 7^3 şi y conţine 7^5, z nu poate conţine mai mult de 7^3, pentru că nu l-ar mai divide pe x. Deoarece vrem z maxim (cel mai mare divizor comun), punem chiar 7^3, dacă am pune 7^2 sau mai puţin, z n-ar mai fi maxim. La fel pentru ceilalţi factori comuni.
Acum ştim şi puterile factorilor lui z, deci îl ştim pe z.
Sperăm că a fost mai clară explicaţia aceasta 🙂 Zi bună în continuare!
Cam slabut pentru un inginer electronist, daca asta nu ai inteles cum naiba ai luat examenul la algebra lineara? Online?
Buna ziua sunt in clasa a 8 a și un pic cam uituc și aș dori să vă întreb cum pot învăța în cel mai eficient mod ( căci știu doar sa tocesc..)